Le qualificatif "vieux" ou "vieille" s'emploie familièrement avec quelqu'un connu de longue date, le "vieux" étant alors lié à la durée de la relation, bien plus qu'à l'âge de la connaissance.
Reste le plus intrigant : pourquoi 'branche' ?
Une explication parfois proposée est lié à l'argotique "se brancher avec quelqu'un" pour dire "entrer en rapport avec quelqu'un". Issue du monde des électriciens, l'image est compréhensible à partir du moment où vous savez brancher une prise électrique et établir une relation forte entre la prise mâle et la prise femelle (sans sous-entendu sexuel obligatoire).
Partant de là, les éléments 'branchés' peuvent être appelés des branches. Et ces branches / individus qui sont branchés ou se connaissent depuis longtemps, deviennent l'un pour l'autre des vieilles branches.
Mais si l'explication semble tenir la route, elle ne résiste pas à l'analyse chronologique : en effet, le "vieille branche" est attesté depuis le milieu du XIXe siècle, avant que l'usage de l'électricité se répande dans les foyers, alors que "se brancher" date d'un siècle plus tard.
D’après Gaston Esnault, c'est en 1400 qu'apparaît le terme 'poteau' pour désigner un ami proche ; ce poteau-là donnant bien plus tard l'abréviation 'pote'. Ce poteau est quelque chose sur lequel on peut s'appuyer, tout comme on peut s'appuyer sur un ami fidèle (bien que le mot avec cette acception semble ensuite ne plus être utilisé avant de réapparaître au milieu du XIXe siècle).
Mais quel rapport avec la branche, me direz-vous ? Eh bien, il semblerait que ce soit une utilisation du même type de métaphore : l'ami peut nous empêcher de tomber, comme on peut s'accrocher à une branche solide pour ne pas se casser la figure.